Operazioni

DEF: Una operazione binaria su A è una funzione *** : AxA → A** (* è un simbolo per denotare un'espressione)

NOTAZIONE: invece di scrivere *(a, b) si scrive a * b

PROPRIETA' (* : AxA → A):

• E' commutativa se a * b = b * a
• E' associativa se (a * b) * c = a * (b * c)
  • in questo caso posso non usare parentesi: a * b * c
• Ha un elemento neutro se esista e ∈ A tale che per ogni a ∈ A:
  • a * e = e * a = a
• Un elemento x di A è simmetrizzabile (invertibile) se esiste l'elemento neutro e di A, ed esiste anche x * x' = x' * x = e
  • x' è il simmetrico (inverso) di x e viceversa

NOTAZIONE:

• Si scrive (A, *) per denotare l'operazione che si sta considerando

Una struttura algebrica (A, *) è:

• Se Associativa → (A, *) semigruppo
• Se associativa e ha elemento neutro → *(A, ) monoide
• Se associativa, elemento neutro, e ogni elemento è simmetrizzabile → *(A, ) gruppo

DEF:

• (A, *) struttura algebrica