Una applicazione lineare tra spazi vettoriali V e W è una funzione f : V → W tale che:

• f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2)
  • "L'immagine della somma è uguale alla somma delle immagini"
• f(r * v) = r * f(v)

Se f : V → W è una appl. lineare, allora f(0v) = 0w

Immagine

Data un'applicazione lineare f : U → V, l'immagine di f è l'insieme

Im f è un sottospazio di V

Nucleo o Kernel

Se f : U → V è un'applicazione lineare, il nucleo o kernel di f è l'insieme

Teorema (nullità più rango): dim Ker f + dim Im f = dim V

Proprietà: f : V → W

• Ov app Ker f SEMPRE ( f(0v) = 0w )
• Se Ker f = {0v} allora f è iniettiva
• f è iniettiva se e solo se dim Ker f = 0
• f è suriettiva se e solo se dim Im f = dim W (cioè Im f = W)

Un'applicazione lineare biettiva si chiama anche ISOMORFISMO TRA SPAZI VETTORIALI