Uno Spazio Vettoriale su un campo K è una struttura algebrica con due operazioni: somma e prodotto esterno, che soddisfano le seguenti proprietà per ogni u,v app V e r app K:

• (V, +) è un gruppo commutativo
• r(u+v) = ru + rv
• (r+s) * u = ru + su
• (rs)u = r(su)
• 1u = u

Gli elementi di K si chiamano scalari, gli elementi di V si chiamano vettori

L'elemento neutro del gruppo (V, +) si chiama vettore nullo e si indica con 0v.

NB: ****un sottospazio deve SEMPRE contenere 0v (vettore nullo)

Sottospazio: se V è uno spazio vettoriale e U ⊆ V, allora U è un sottospazio di V se:

• per ogni u1, u2 ∈ U si ha u1 + u2 ∈ U
• per ogni u ∈ U e per ogni r ∈ R si ha ru ∈ U

Queste condizioni sono dette condizioni di stabilità rispetto alle operazioni.

Ogni sottospazio vettoriale è uno spazio vettoriale a sua volta

Combinazione lineare: una combinazione lineare dei vettori v ∈ V tramite gli scalari r∈R è il vettore v1r1 + ... + vnrn ∈ V. Diciamo

Diciamo che v1 dipende linearmente dai vettori v2,..,vn ∈ V se esistono s2,..,sn ∈ R tali che v1 = s2v2 + ... + snvn

In particolare le combinazioni lineari di un solo vettore v sono i vettori r*v con r ∈ R

Un sottoinsieme di Rn è linearmente indipendente se nessun vettore di questo insieme è combinazione lineare degli altri, Per capire se i vettori un ∈ Rm sono linearmente indipendenti si consideri il rango della matrice:

Se rg=m allora l'insieme è linearmente indipendente