In questo capitolo ci occuperemo di un altro problema di numerica: la ricerca degli autovalori e autovettori. Presa una matrice $A ∈ \R^{n×n}$, il problema che dobbiamo affrontare è quello di trovare gli scalari $λ$ e i corrispondenti vettori $v$ tali per cui vale la seguente identità
$$ Av = \lambda v $$
In generale una matrice $A$ di dimensione $n$ ha $n$ autovalori/autovettori. Trovare lo spettro, ossia tutti gli $n$ autovalori/autovettori, è una procedura onerosa in termini di operazioni macchina. Ci sono però procedure che permettono di trovare solamente alcuni autovalori, per esempio l’autovalore di modulo massimo, minimo o il più vicino a un valore dato.
In questa sezione vedremo alcuni aspetti pratici del problema agli autovalori/autovettori. Infatti se è chiaro il motivo per cui si studia il modo per risolvere sistemi lineari, a priori non è molto chiaro quando e soprattutto perché occuparsi di problemi agli autovalori. In questa sezione vi proporremo due esempi.
Trovare gli zeri di un polinomio, ossia i valori dell’incognita $x$ tale per cui un generico polinomio $p(x) = 0$, non è una procedura semplice. Infatti, solamente per polinomi di grado 1, 2 e 3 esistono delle formule esplicite per trovare questi valori a partire dai coefficienti del polinomio stesso. In ambito numerico è possibile ricondurre il problema di trovare gli zeri di un polinomio a un problema agli autovalori.
Come abbiamo visto in precedenza gli autovalori si identificano come i valori $λ$ per cui vale (5.1):
$$ \det(A-I\lambda) = 0 $$
In generale è sempre possibile creare questa matrice $A$. La risposta a questa domannda è si!
Infatti basta considerare una matrice fatta in questo modo
Per accertarci che la formula funziona consideriamo il polinomio di grado 2
$$ p(\lambda) = \lambda^2 + d_1\lambda + d_0 $$
In questo caso la matrice $A$ sarà
$$ A:=\begin{bmatrix} 0 &-d_0 \\ 1 &-d_1 \end{bmatrix} $$
da cui
Abbiamo quindi ottenuto lo stesso polinomio di partenza nel semplice caso di una matrice di dimensione 2.
Nota implmentativa: In Matlab la ricerca degli zeri di un polinomio viene fatta in questo modo, ovverosia viene costruita la matrice $A$ di Equazione (5.3) e si calcolano tutti i suoi autovalori.