Risolvere i seguenti integrali indefiniti:
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$\int(x+1)\log(x^2+1)dx$
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$\int x^3e^{x^2}dx$
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$\int \frac{1}{x^2-2x+2}dx$
$$ \int \frac{1}{x^2-2x+2}dx=\int\frac{1}{x^2-2x+1-1}dx=\int\frac{1}{(x-1)^2+1}dx=_{\ t=x-1 \ \rarr \ dt=1\ dx}\\ =\int\frac{1}{1+t^2}dt=\arctan(t)=\arctan\big(x-1\big)+c, \ \ c \in \R $$
Risolvere i seguenti integrali definiti:
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$\int_1^3\frac{1}{\sqrt x (x+1)dx}$
Risolvo l'integrale indefinito:
Calcolo integrale definito:
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$\int_{-\frac{\pi}{4}}^\pi|x|\sin x \ dx$
Risolvo l'integrale indefinito, dividendolo in 2 possibili casi:
Calcolo integrale definito:
Studiare le seguenti funzioni e tracciarne un grafico qualitativo (dominio, segno, asintoti, monotonia, max, min, concavità, flessi):
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$f(x)=\frac{1+\log x}{1- \log x}$
$C.E.=\begin{cases} x>0 \\ 1-\log x \neq 0 \end{cases} \lrarr \begin{cases} x>0 \\ x \neq e \end{cases}$
$D=(0, e) \cup(e, +\infin)$
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Segno $f(x) > 0:$
$N:1+\log x > 0$
$\log x > -1$
$x > \frac{1}{e}$
$D:1-\log x > 0$
$\log x < 1 \lrarr 0<x<e$
$f(x)$ è positiva $\forall x \in (\frac{1}{e},e)$
$f(x)$ è negativa $\forall x \in (0, \frac{1}{e})\cup(e, +\infin)$
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Intersezioni
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Asse x:
$1 +\log x = 0$
$\log x = -1$
$x=\frac{1}{e}$
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Asse y:
$f(0) =\frac{1+\log(0)}{1-\log(0)}= \nexists$
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Studio estremi
$\lim\limits_{x\rarr 0^+}\frac{1+\log x}{1-\log x}=\lim\limits_{x\rarr 0^+}\frac{(\log x)(\frac{1}{\log x}+1)}{(\log x)(\frac{1}{\log x}-1)}=\frac{+1}{-1}=-1$
$\lim\limits_{x\rarr e^-}\frac{1+\log x}{1-\log x}= \frac{1+1}{1-1 }=\frac{2}{0^+}=+\infin$
$\lim\limits_{x\rarr e^+}\frac{1+\log x}{1-\log x}=\frac{1+1}{1-1}=\frac{2}{0^-}=-\infin$ asintoto verticale $x=e$
→ in $x=e$ c'è un punto di discontinuità di 2 specie
$\lim\limits_{x\rarr +\infin}\frac{1+\log x}{1-\log x}=\ \frac{+\infin}{-\infin}?$ applichiamo il teorema di De Hopital
$\lim\limits_{x\rarr +\infin}\frac{(1+\log x)'}{(1-\log x)'}=\lim\limits_{x\rarr +\infin} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x}}=-1$ asintoto orizzontale $y=-1$
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Calcolo la derivata prima
$$ f'(x)=\frac{\frac{1}{x}(1-\log x)-(1+\log x)\Big(\frac{1}{x}\Big)}{(1-\log x)^2}=\frac{\frac{1-\log x+1+\log x}{x}}{(1-\log x)^2}=\frac{\frac{2}{x}}{(1-\log x)^2}=\frac{2}{x(1-\log x)^2} \ \ \text{ se } x \in D $$
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Studio del segno della derivata prima $f'(x)>0$:
$N: 2>0$ disequazione sempre verificata
$D: \ \ x(1-\log x)^2>0 \lrarr \begin{cases} x>0 \\ x \neq e \end{cases}=D$
$\rarr f'(x)>0 \ \ \forall x \in D$
La derivata prima non ha alcuno zero → non ci sono punti stazionari → non ci sono punti di massimo / minimo relativi o assoluti
Dato che la derivata prima è sempre positiva, $f$è strettamente crescente e quindi strettamente monotona in $D$
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Calcolo la derivata seconda
$$ f''(x)=-2\Big( \frac{\big(x(1-\log x)^2\big)'}{\big( x(1-\log x)^2 \big)^2} \Big)=-2\frac{(1-\log x ^2)+x*2(1-\log x)(-\frac{1}{x})}{(x(1-\log x)^2)^2} = \\ =\frac{2+2\log x}{x^2(1-\log x)^3} \ \ se \ \ x \in D $$
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Studio del segno della derivata seconda $f''(x)>0:$
$N: 2+2\log x > 0 \\ \ \ 2 \log x > -2 \\ \ \ \log x > -1 \\ \ \ x > \frac{1}{e}$
$D:x^2(1-\log x)^3>0 \lrarr \begin{cases} x \neq 0 \\ \log ^3 x < 1 \end{cases} \lrarr \begin{cases} x \neq 0 \\ 0 < x < e \end{cases} \lrarr 0<x<e$
$f(x)$ è concava $\forall x \in (0, \frac{1}{e})\cup(e, +\infin)$
$f(x)$ è convessa $\forall x \in (\frac{1}{e}, e)$
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Punti di flesso
Dato che nell'intorno sinistro di $x_0=\frac{1}{e}$ $f$ è concava, e nell'intorno destro di $x_0=\frac{1}{e}$ $f$ è convessa, e dato che $x_0=\frac{1}{e} \in D$, possiamo affermare che $\Big(\frac{1}{e}, f(\frac{1}{e})\Big)$ è un punto di flesso
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Grafico
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$f(x)=\arctan \frac{1}{x}$
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$C.E.:x \neq 0$
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$D=(-\infin, 0)\cup(0, +\infin)$
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Studio segno $f(x)>0$:
$\arctan\frac{1}{x}>0$
$\frac{1}{x}>0$
$x>0$
$f$ è positiva $\forall x \in (0, +\infin)$
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Intersezioni:
Asse x:
$\arctan \frac{1}{x}=0 \\ \frac{1}{x}=0 \\ x \in \empty$
Asse y:
$f(0)= \nexists$
$f$ non interseca mai alcun asse
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Studio estremi:
$\lim\limits_{x \rarr -\infin} \arctan \frac{1}{x}=\arctan(0^-)=0^-$
$\lim\limits_{x\rarr +\infin} \arctan \frac{1}{x}=\arctan(0^+)=0^+$
→ asintoto orizzontale $y = 0$
$\lim\limits_{x\rarr 0^-}\arctan \frac{1}{x}=\arctan(-\infin)= -\frac{\pi}{2}$
$\lim\limits_{x\rarr 0^+}\arctan \frac{1}{x}=\arctan(+\infin)=\frac{\pi}{2}$
→ discontinuità di 1 specie (salto)
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Studio della derivata prima:
$$ f'(x)=\frac{1}{1+\big( \frac{1}{x} \big)^2}*\Big(-\frac{1}{x^2}\Big)=-\frac{1}{x^2+1} $$
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Studio segno della derivata prima $f'(x)>0$:
$N>0: \ \ -1>0$ disequazione mai verificata
$D>0: \ \ \ x^2+1>0 \ \ \lrarr \ \ x \in D$
La derivata prima non ha alcuno zero → non ci sono punti stazionari → non ci sono punti di massimo / minimo relativi o assoluti
$f'$ è negativa $\forall x \in D$ → $f$ è strettamente decrescente e quindi strettamente monotona
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Studio della derivata seconda:
$$ f''(x)=\frac{1(2x)}{(x^2+1)^2}=\frac{2x}{(x^2+1)^2} $$
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Studio segno della derivata seconda $f''(x)>0:$
$N>0: x>0$
$D>0: \ \ \ (x^2+1)^2>0 \ \lrarr x^2>-1$ $\lrarr \ \ x \in D$
Nell'unico punto in cui cambia la concavità la funzione non esiste, quindi possiamo affermare che non esistono punti di flesso
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Grafico:
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$f(x)=xe^{\frac{1}{x}}$
Stabilire se le seguenti funzioni sono prolungabili con continuità da destra e/o sinistra agli estremi degli intervalli che compongono il dominio. Nel caso in cui risultino prolungabili, verificare anche la derivabilità destra e/o sinistra in tali punti:
Calcolare le seguenti radici complesse:
Risolvere le seguenti equazioni nel campo complesso: