$\lim\limits_{n \rarr +\infin} a_n=2$: limite di una successione di numeri reali. Converge ad un numero reale $l \in \R$ , il che presuppone che $\forall \epsilon > 0 \ \exists n_0 \in \N$ tale che $|a_n-l|<\epsilon$, cioè $a_n \in (l-\epsilon, l +\epsilon), \forall n \geq n_0$
$\lim\limits_{x\rarr 3}f(x)=4$: limite di funzione: quando x si avvicina a 3, il valore di $f(x)$ si avvicina a $4$
$\lim\limits_{x\rarr -1} f(x)=+\infin$: limite di funzione dove quando x si avvicina a -1, il valore di $f(x)$ tende a $+\infin$. Graficamente si tratta di un asintoto verticale con retta $x=-1$
Derivata di una funzione: la derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto incrementale al tendere dell'incremento $h$ a zero $f'(x)=\lim\limits_{h\rarr 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$. Ci sono anche altre notazioni, come $f'(x)=\frac{df}{dx}(x_0)=D_xf(x_0)$. Se $\exist f'(x_0)$, $f$ si dice derivabile in $x_0$
Funzione continua in un punto: sia $f:X\rarr \R$ e sia $x_0 \in X$. $f(x)$ si dice continua in $x_0$ se
Definiamo il numero di Nepero a partire dal limite della successione $e := \lim\limits_{n\rarr +\infin}(1+\frac{1}{n})^n$. Si tratta sia di una successione monotona e strettamente crescente, sia una successione limitata. Vale circa 2.72 e insieme al pigreco è la costante matematica più importante, per via della sua presenza in molte formule apparentemente non correlate
Ordine di infinitesimo: di $f(x)$ per $x\rarr x_0$: se $\exist \alpha \in \R^+$ tale che $\lim\limits_{x\rarr x_0} \frac{f(x)}{|x-x_0|^\alpha} = L \in \R \setminus \{0\}$ allora $f$ è un infinitesimo di ordine $\alpha$ per $x\rarr x_0$
Ordine di infinitesimo di $f(x)$ per $x\rarr +\infin$: se $\exist \alpha \in \R^+$ tale che $\lim\limits_{x\rarr \pm \infin} x^\alpha f(x)=L \in \R \setminus \{0\}$, $f$ è un infinitesimo di ordine $\alpha$ per $x\rarr \pm \infin$
Ordine di infinito di $f(x)$ per $x\rarr x_0$: se $\exist \alpha \in \R^+$ tale che $\lim\limits_{x\rarr x_0} |x-x_0|^\alpha f(x)=L \in \R \setminus \{0\}$, $f$ è un infinito di ordine $\alpha$ per $x\rarr x_0$
Ordine di infinito di $f(x)$ per $x\rarr +\infin$: se $\exist \alpha \in \R^+$ tale che $\lim\limits_{x\rarr \pm \infin}\frac{f(x)}{x^\alpha}=L \in \R \setminus \{0\}$, $f$ è un infinito di ordine $\alpha$ per $x\rarr \pm \infin$
Successione delle somme parziali di una serie $\sum_{k=1}^{+\infin}a_k$: sia $\{a_k\}$ una successione. Consideriamo la serie $\sum_{k=0}^{+\infin}a_k$. Costruiamo una successione, detta successione delle somme parziali della serie come segue:
$s_0=a_0 \\ s_1=a_0+a_1 \\ s_2=a_0+a_1+a_2 \\ s_n = a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_n$
Serie convergente: sia $\sum_{k=0}^{+\infin}a_k$ una serie. La serie è convergente a $S \in \R$ se la successione delle somme parziali della serie $\{s_n\}$ converge a $S$, cioè se $\lim\limits_{n\rarr +\infin} s_n = S$. In questo caso $S$ è la somma della serie e scriviamo $\sum_{k=0}^{+\infin} a_k=S$
Serie assolutamente convergente: sia $\sum_{n=1}^{+\infin} a_n$ una serie. Se $\sum_{n=1}^{+\infin}|a_n|$ converge, allora si dice che la serie converge assolutamente
Serie a segni alterni: sia $\sum_{n=1}^{+\infin}(-1)^n a_n$ una serie tale che $a_n$ è definitivamente di segno costante. Allora la serie di dice a segni alterni
Forma algebrica di un numero complesso: il numero complesso $z=(x,y) \in C, \ x,y \in \R$ si scrive in forma algebrica come $z=x+iy$ dove:
Oss: $\R \subset C$. Infatti, se $x \in \R$, lo si può scrivere come $x+0i$
Forma trigonometrica di un numero complesso: un numero complesso $z=x+iy \neq 0$ si scrive in forma trigonometrica come $z=|z|(\cos \theta + i \sin \theta)$
dove $\theta=\arg(z) \in \R$, detto argomento di z, è un angolo qualsiasi tale che
$x=|z|\cos \theta$
$y=|z| \sin \theta$
Coniugato di un numero complesso: dato un numero complesso $z=x+iy, \ x,y \in \R$, si dice suo complesso coniugato il numero complesso $\overline z= Re(z) - iIm(z)=x-iy$
Nel piano cartesiano, il coniugato si ottiene riflettendo rispetto all'asse x
Modulo di un numero complesso: se $z=x+iy, \ x,y \in \R$, il modulo di z è $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ ed è un numero reale ≥ 0 (è la lunghezza del vettore che va dall'origine al punto corrispondente a z nel piano cartesiano
Esponenziale complesso: sia $z=x+iy,\ x,y \in \R$ . L'esponenziale in campo complesso, $e^x$, è definita come $e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$
In particolare, se z è reale, cioè $z = x+0i$, allora $e^z=e^x(\cos 0+i \sin 0)=e^x(1+0)=e^x$ quindi questa definizione generalizza l'esponenziale in campo reale