La retta secante interseca il grafico di y=f(x) nei punti $(x_0, f(x_0))$ e $(x_0+h, f(x_0+h))$
Il coefficiente angolare della retta secante è
$$ m_{sec}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $$
Se, facendo tendere h a zero, la retta secante ammette una posizione limite, questa sarà la retta tangente al grafico y=f(x) nel punto $(x_0, f(x_0))$
Allora il coefficiente angolare della retta tangente sarà
$$ \lim_{h\rarr0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0) $$
DEF: se $\exists$ ed è finito
$$ \lim_{h\rarr0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0) $$
$f$ si dice derivabile in $x_0$ e $f'(x_0)$ è la derivata di $f$ in $x_0$
$\lim_{h\rarr0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)$ si chiama rapporto incrementale
Si può porre $h=x-x_0$
$f'(x_0)=\lim\limits_{h\rarr 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim\limits_{x\rarr x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
$y = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
Notazione: per la derivata si usano anche le seguenti
$\frac{df}{dx}(x_0)=f'(x_0)$
$Df(x_0)=f'(x_0)$