Teorema di Bayes

Siano $B_1,..., B_n$ eventi mutuamente disgiunti la cui unione è $\Omega$ (sono una partizione di $\Omega$).

Per ogni $A \subseteq \Omega$, vale la seguente formula:

$$ P(B_i | A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{P(A|B_1)(P(B_1)+...+ P(A|B_n)P(B_n)} $$

• Dimostrazione

Probabilità totali

Siano $B_1,..., B_n$ eventi di $\Omega$ **mutuamente disgiunti (**a due a due) tale che $\Omega = B_1 \cup... \cup B_n$ (formano una partizione di $\Omega$).

Per ogni $A \subseteq \Omega$, vale la seguente formula:

$$ P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+...+ P(A|B_n)P(B_n); $$

• Dimostrazione

Prodotto di eventi indipendenti

Sia $(\Omega, \mathscr P(\Omega), P)$ uno spazio di probabilità, e siano $A,B \subseteq \Omega$.

"$A$ e $B$ sono indipendenti" se e solo se

$$ P(A\cap B)=P(A)*P(B) $$

• Dimostrazione

Legge dei grandi numeri

Teorema del limite centrale

Sia $(X_n)_n$ una successione di variabili aleatorie indipendenti e aventi la stessa legge di media $\mu$ e varianza $\sigma^2$.