Sia $A \in \R^{n\times n}$. $(\lambda,v_{\lambda}^\rarr)$ è una autocoppia per $A$ se

$$ A v^\rarr_{\lambda} = \lambda v^\rarr_\lambda $$

Ricordiamo che la norma di una matrice è data da

$$ ||A|| :=\max_{0^\rarr \neq x^\rarr \in \R^n}\frac{||Ax^\rarr||}{||x^\rarr ||} $$

per una data norma di vettori $||\cdot||$.

Quindi, per ogni norma $||.||$, abbiamo che

$$ |\lambda| \ ||v^\rarr_\lambda||=||\lambda v^\rarr_\lambda|| = ||Av^\rarr_\lambda|| = \frac{||Av^\rarr_\lambda||}{||v^\rarr_\lambda||}\cdot ||v^\rarr_\lambda||\leq ||A||\cdot ||v^\rarr_\lambda|| $$

Possiamo dedurre che

$$ |\lambda|\leq ||A|| \ \ \ \text{ per tutte le norme} $$

Questo è un primissimo modo per ottenere una localizzazione cruda degli autovalori. Procediamo a dare un risultato migliore.

Primo teorema di Gershgorin)

Teorema: Sia

$$ \sigma(A):=\{\lambda \ | \ \lambda \text{ è un autovalore di } A\} $$

allora,

$$ \sigma(A) \subseteq S_R := \bigcup_{i=1}^NR_i $$

dove

$$ R_i := \Big\{z \in C \ \ \Big|\ \ |z-a_{ii}| \leq \sum_{j=1, \ j \neq i}^N |a_{ij}|\Big\} $$

ESEMPIO