Limite:

$$ \lim\limits_{x\rarr +\infin}\Big( \frac{2x+1}{2x}\Big)^x=\lim\limits_{x\rarr +\infin}\Big(1+\frac{1}{2x}\Big)^x=\lim\limits_{x\rarr +\infin}\Big(1+\frac{\frac{1}{2}}{x}\Big)^x=\sqrt e $$

Ordine di infinitesimo:

$$ f(x)=\frac{\sin x + \log(1+x^2)}{e^{\sqrt x}-1} \ \ \text{per }x\rarr 0^+ \sim \frac{x+x^2}{x^{\frac{1}{2}}}=x^\frac{1}{2}+x^\frac{3}{2}\rarr \alpha=\frac{1}{2} \text{ (per } x\rarr 0^+) $$

Studio di funzione:

$$ f(x)=x(1-\frac{4}{\log x}) $$

Serie:

$$ \sum_{n=1}^{+\infin}\frac{\sqrt n}{e^n + 2n} $$

$$ \sum_{n=1}^{+\infin}\frac{(x+1)^n}{n+\log n^3}, \ x \in \R $$

Integrale (unico che ho fatto giusto porco dio):

$$ \int\frac{\log x}{x\sqrt{2+\log^2x}}dx $$

Trovare valori di $a$ per cui $f(x)$ è invertibile nel suo dominio:

$$ f(x)=\begin{cases} |x+1|, \ x \geq 0 \\ -x^2+a, \ x < 0 \end{cases} $$