Sia $f:[a,b]\rarr \R$ una funzione integrabile in $[a,b]$ e sia $c \in [a,b]$. La funzione
si chiama funzione integrale di $f$ (relativa al punto c)
Sia $f:[a,b]\rarr \R$ continua (e quindi integrabile), e sia $c \in [a,b]$. Allora, data la funzione integrale
$$ F_c (x)=\int_c^xf(t)dt $$
si ha che $F_c'(x)=f(x)$ $\forall x \in [a,b]$ (cioè, in pratica, le operazioni di integrazione e derivazione sono una l'inversa dell'altra).
Sia $f:[a,b] \rarr \R$. Se $F:[a,b] \rarr \R$ è una funzione derivabile e tale che $F'(x)=f(x) \ \ \forall x \in (a,b)$, allora $F$ è una primitiva di $f$.
Oss: se $f$è continua in $[a,b]$, allora, per il teorema fondamentale del calcolo integrale,
$$ F_c(x)=\int_c^xf(t)dt $$
è tale che $F_c'(x)=f(x)$, cioè $F_c$ è una primitiva di $f$. In altre parole, tutte le funzione continue hanno almeno una primitiva: la funzione integrale.
Oss: se $F(x)$ è una primitiva di $f(x)$, lo è anche $F(x)+c$ (con c costante) perchè
$$ (F(x)+c)'=F'(x)+0=f(x) $$
Inoltre, si può dimostrare che tutte le primitive di una funzione sono di questo tipo. Di conseguenza, se una funzione ha una primitiva, allora ne ha infinite, che differiscono per una costante additiva
Teorema: se $F$ e $G$ sono due primitive di $f$, allora $G(x)=F(x)+c$, con $c$ costante