Funzioni e limiti

• $\lim\limits_{x\rarr 0}\frac{\sin x}{x}=1$: cerchio
• $\lim\limits_{x\rarr 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$: moltiplico per $\frac{1+\cos x}{1+\cos x}$
• $\lim\limits_{x\rarr \pm \infin}(1+\frac{1}{x})^x=e$: $[x]\leq x \leq [x]+1$ — $y=-x; x=-y;$
• $\lim\limits_{x\rarr 0} (1+x)^\frac{1}{x}=e$: $y=\frac{1}{x}\lrarr x=\frac{1}{y}$
• $\lim \limits_{x\rarr 0}\frac{\log(1+x)}{x}=1$: raccolgo $\frac{1}{x}$
• $\lim\limits_{x\rarr 0}\frac{e^x-1}{x}=1$: $y=e^x-1 \lrarr x=\log (y+1)$
• $\lim\limits_{n\rarr +\infin}\frac{a^n}{n!}$: $\frac{a}{n}<\frac{1}{2}$
• Teorema del confronto per limiti di funzioni: roba strana degli intorni
• Continuità delle funzioni derivabili: $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)=o(1)$
• Teorema degli zeri per funzioni continue: quella roba degli intervalli ricorsivi

Derivate

• Teorema di Fermat: $f(x) \leq f(x_0) \forall x \in U(x_0) \cup X$, poi studio segno rapporto incrementale

• Teorema di Rolle: applico Weierstrass

• Teorema del valor medio di Lagrange

  $h(x)=f(x)-(f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a))$

• Monotonia di una funzione e segno della derivata: 1) applico lagrange 2) analoga 3) f'(x)=0

• Derivata di un prodotto, derivata di un quoziente e derivata di una funzione composta:

  • $-f(x)g(x_0)+f(x)g(x_0)$
  • $-f(x_0)g(x_0)+f(x_0)g(x_0)$
  • $*\frac{g(x)-g(x_0)}{g(x)-g(x_0)}$ poi scambio denominatori

Integrali

• Teorema della media integrale: $m(b-a)\leq \int_a^bf(x)dx \leq M(b-a)$
• Teorema fondamentale del calcolo integrale: rapporto incrementale della primitiva e poi media integrale