Sia $f:[a,b]\rarr \R$ una funzione continua e tale che $f(x)\geq 0$ $\forall x \in [a,b]$. Si vuole calcolare l'area del sottografico di $f$ su $[a,b]$.
Si suddivide l'intervallo $[a,b]$ in $n$ intervallini $[x_{i-1}, x_i],$ con $i=1,..., n$ tali che
Questi intervallini costituiscono una suddivisione dell'intervallo $[a,b]$, che si indica con D
Sia
(che esiste per Weierstrass). La somma delle aree dei rettangoli di
è detta somma inferiore di $f$ relativa alla suddivisione D dell'intervallo $[a,b]$ e si indica con
$$ s(D, f)=\sum_{i=1}^n(x_i-x_{i-1})m_i $$
che approssimano per eccesso l'area del sottografico.
Se A è l'area del sottografico, si ha quindi che $s(D, f) \leq A \leq S(D, f) \ \ \ \forall D$ suddivisione di $[a,b]$.
Oss: se f non è continua, ma è limitata in $[a,b]$ si possono costruire comunque le somme inferiori e superiori, prendendo
