Necessità di un linguaggio più ricco

Si consideri questa frase:

Nella logica proposizionale, essa può essere resa con un’implicazione:

$$ A\rarr B $$

E’ però importante notare che, mentre $A\rarr B$ è una formula che non è sempre vera, la frase è sempre vera (nel contesto dei numeri interi). Infatti, in $A\rarr B$ si perde il “collegamento” tra l’antecedente, che nomina $n$, e il conseguente, che nomina $n+1$.

Per riuscire a rappresentare pienamente la struttura della frase, bisogna introdurre un linguaggio più ricco, che riesca a predicare (”essere un numero pari”, “essere un numero dispari”) sulle proprietà degil oggetti (”$n$” e “$n+1$”).

Altri elementi “nuovi” presenti in questa frase, rispetto a quelle trattate finora, sono i seguenti:

• La frase utilizza il quantificatore universale “per ogni”: esso è un elemento che ha un ruolo simile ai connettivi, nel senso che caratterizza la struttura logica della frase, e non è legato alla specifica frase.
• “$n$ è pari” e “$n+1$ è dispari” sono proprietà che dipendono dalla variabile $n$, quindi il loro valore di verità dipende da come si interpreta $n$.
• $n+1$ indica l’implicazione di una funzione a $n$.

Formalizzazione

Il linguaggio più ricco necessario a rappresentare la frase

$$ \text{Per ogni numero }n, \text{ se }n\text{ è pari allora }n+1\text{ è dispari}. $$

è quello della logica classica del primo ordine, detta anche logica dei predicati (o predicativa).

Come si vedrà in seguito, questa frase può essere formalizzata come

$$ \forall x(P(x)\rarr D(f(x))) $$

interpretando gli elementi che compaiono nella frase nell’ambito (che sarà formalizzato dalla nozione di modello) dei numeri naturali. In tale contesto, si interpretano:

• il predicato $P(y)$ come “$y$ è pari”;
• il predicato $D(y)$ come “$y$ è dispari”;