In generale, data una base $\beta$:
$$ \pm a_n a_{n-1} ... a_{1}a_0a_{-1}...a_{-m}\ {|\beta} = \pm \sum{j=-m}^n a_j \cdot \beta^j $$
Esempi:
$$ 12.211 = 110^1 + 210^0 + 210^{-1} + 110^{-2} + 1*10^{-3} $$
$$ 12.211_{|3} = 1\cdot 3^1 +2\cdot 3^0 + 2\cdot 3^{-1} + 1\cdot 3^{-2} + 1\cdot 3^{-3} $$
Esempio diabolico.
Un numero reale potrebbe ammettere più di una rappresentazione normalizzata. Per esempio vediamo il numero $1$.
Lemma: $1 = 0.\overline 9$
Dimostrazione:
$$ 0.\overline 9 = \sum_{j=1}^{+\infin} 9*10^{-j} = 9\sum_{j=0}^{+\infin}10^{-j-1} = \frac{9}{10} \sum_{j=0}^{+\infin}(\frac{1}{10})^j = \frac{9}{10}\frac{1}{1-\frac{1}{10}} = 1 $$
Osservando la definizione notiamo che alcuni numeri che si espandono in maniera infinita in una base magari si rappresentano i maniera finita in un’altra base.
Qualora ci sia più di una rappresentazione per un numero reale, dovremmo sempre usare quella finita, se esiste.
Teorema: Sia dato $\frac pq$ un numero razionale in minimi termini. Tale numero ha una rappresentazione finita sse i divisori primi di $q$ dividono la base $\beta$.
→ Sicuramente in un computer non posso rappresentare numeri razionali con denominatore dispari ($\beta = 2$).
Esempio.
$\frac 13$ non ha una rappresentazione finita in base 10, e infatti 3 non divide 10.