Distanza euclidea

$d(x_1, x_2) = |x_1-x_2|, \forall x_1, x_2 \in \R$

Intorno

Sia $x_0 \in \R$ e $\epsilon > 0$. Un intorno di $x_0$ di raggio epsilon è l'insieme

$B_\epsilon(x_0) = \{x \in \R: |x-x_0|<\epsilon\}$ = $\{x-\epsilon, x+\epsilon\}$

Come sono fatti questi intorni di $x_0?$ Sono intervalli centrati in $x_0$ larghi $2\epsilon$ con raggio (semiampiezza) $\epsilon$

Operazioni in $\R^*$

$\forall x \in \R$

1. $x + (+\infin)=+\infin$ (idem -infinito)
2. $+\infin +\infin = +\infin$ (idem -infinito)
3. $x*(+\infin) =$ dipende da x (si mantengono le proprietà del segno)
4. $\frac{x}{+\infin}=0$

Intorno di $\infin$

Un intorno di $+\infin$ è un intervallo del tipo $(a, +\infin]$ con $a \in \R^* \setminus \{+\infin\}$

Un intorno di $-\infin$ è un intervallo del tipo $[-\infin, b)$ con $b \in \R^* \setminus\{-\infin\}$

Limite di $f(x)$ in $x_0$

Se ogni volta che x appartiene ad un intorno di $x_0$ la $f(x)$ appartiene ad un intorno di un valore $L$. allora il limite di $f(x)$ che tende a $x_0$ è $L$

Punto di accumulazione

Sia allora $E \subseteq \R^*$

Un punto $x_0 \in \R^*$ si dice punto di accumulazione per E se $\forall U(x_0)$ intorno di $x_0$ si ha che: