Come misurare le distanze

Dati due punti $p$ e $q$ in $d$ dimensioni, una delle metriche più note per misurare la loro distanza è data alla Matrice Euclidea:

$$ d(p,q)=\sqrt{\sum_{i=1}^d |p_i-q_i|^2} $$

Proprietà matematiche che devono soddisfare le misure di distanza per essere delle metriche:

• Positivity: $d(x,y\geq 0$ per tutti x e y
• Identity: $d(x,y)=0$ sse x = y
• Symmetry: $d(x,y)=d(y,x)$ per tutti x e y
• Triangle inequality: $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$ per tutti x, y e z

Misure di distanza sono sostanzialmente diverse dagli score di similarità (es. coeff. di correlazione) della loro direzione di crescita.

Le seguenti misure di similarità sono metriche di distanza?

• Coefficiente di correlazione (da -1 a 1)
• Somiglianza del coseno (o prodotto scalare) (da -1 a 1)
• Tempi di percorrenza in una rete diretta (a volte non simmetriche)
• Biglietto aereo più economico (disuguaglianza del triangolo)

$L_k$ Distance Norms

E’ una generalizzazione della distanza euclidea

$$ d_k(p,q)=\sqrt[k]{\sum_{i=1}^d |p_i-q_i|^k} $$

• Manhattan distance metric (k=1)
• Euclidean distance metric (k=2)