Coppie ordinate di numeri reali

Siano $x,y\in \R$. Allora $(x,y)$ è una coppia ordinata di numeri reali

Sull'insieme delle coppie ordinate di numeri reali si definiscono le operazioni di addizione e moltiplicazione come segue:

Oss: $(0,1)*(0,1)=(0-1, 0+0)=(-1,0)$

Campo dei numeri complessi

L'insieme delle coppie ordinate $(x,y)$ di numeri reali con le operazioni di addizione e moltiplicazione definite come sopra si dice campo dei numeri complessi e si indica con C

oss: C non è un insieme ordinato

Forma algebrica

Il numero complesso $z=(x,y) \in C, \ x,y\in\R$ si scrive in forma algebrica come $z=x+iy$ dove:

• $i=(0,1)$ si chiama unità immaginaria
• $x$ si dice parte reale di z, e si scrive $Re(z)=x$
• $y$ si dice parte immaginaria di z, e si scrive $Im(z)=y$

Oss: $\R \subset C$. Infatti, se $x \in \R$, lo si può scrivere come $x+0i$

Moltiplicazione e quadrato di i

Il quadrato dell'unità immaginaria è $i^2=-1$

Ciò si può giustificare in base alla definizione della moltiplicazione tra numeri complessi, oppure si può supporre che $i^2=-1$ e ricavare la definizione della moltiplicazione

Dalla moltiplicazione a $i^2=-1$

Da $i^2=-1$ alla moltiplicazione