Abbiamo visto che dai limiti notevoli si possono ottenere i comportamenti asintotici di molte funzioni e questi comportamenti asintotici sono particolarmente utili, per esempio, quando si calcolano i limiti o quando si studia la convergenza di una serie. A volte però il comportamento asintotico ottenuto dai limiti notevoli non può essere utilizzato (quando c'è cancellazione completa). Vediamo ora come è possibile ottenere comportamenti asintotici delle funzioni che siano più precisi di quelli ottenuti finora e che possono aiutare nei casi in cui i limiti notevoli non sono sufficienti
Sia $f:(a,b) \rarr \R$ e sia $x_0 \in (a,b).$ Se $f$ è continua in $x_0$, allora
$f(x)=f(x_0)+o(1)$ per $x\rarr x_0$
Se f è derivabile in $x_0$, allora
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0) \ \ \ per \ \ x\rarr x_0$
Se poniamo $T_0(x)=f(x_0)$ e $T_1(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
abbiamo che $T_0(x)$ è un polinomio di grado 0
e $T_1(x)$ è un polinomio di grado $\leq 1$
e $T_0(x)$ è il polinomio di grado 0 che meglio approssima $f(x)$ in un intorno di $x_0$
e $T_1(x)$ è il polinomio di grado $\leq 1$ che meglio approssima $f(x)$ in un intorno di $x_0$
Inoltre osserviamo che
$T_0(x_0)=T_1(x_0)=f(x_0)$
e $T_1'(x_0)=f'(x_0)$
Domanda: è possibile trovare $\forall n \in \N$ un polinomio $T_n(X)$ di grado ≤ n tale che, se f è derivabile n volte in $x_0$, allora
$T_n(x_0)=f(x_0)$
$T'_n(x_0)=f'(x_0)$
$T''_n(x_0)=f''(x_0)$
$T^{(n)}_n(x_0)=f^{(n)}(x_0)$ ?