A = esce testa, testa = { (T,T) }
B = esce testa in almeno un lancio = { (T,T), (T,C), (C,T) }
Voglio conoscere la probabilità di A considerando l'evento B:
$$ P(A|B)=\frac{\#A}{\#B}=\frac{\#A\cap B}{\#B}=\frac{\frac{\#A \cap B}{\#\Omega}}{\frac{\#B}{\#\Omega}}=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$
Siano $A,B \subseteq \Omega$ rispetto ad uno spazio di probabilità $(\Omega, \mathscr P(\Omega), P)$.
Allora
$$ P(A \cap B)=P(A|B)*P(B)\\ P(A \cap B)= P(B|A)*P(A) $$
Due eventi A e B sono indipendenti quando il verificarsi dell'uno non altera la probabilità che si verifichi l'altro.
Definizione: Sia $(\Omega, \mathscr P(\Omega), P)$ uno spazio di probabilità, e siano $A,B \subseteq \Omega$. $A$ e $B$ sono indipendenti se e solo se
$$ P(A|B)=P(A) $$
(oppure $P(B|A)=P(B)$)
Teorema del prodotto di eventi indipendenti: Sia $(\Omega, \mathscr P(\Omega), P)$ uno spoazio di probabilità, e siano $A,B \subseteq \Omega$.