Parliamo ora di sistemi non sequenziali, ad ordini parziali.
Vediamo un esempio sempre usato da Petri. Petri pensò ad un sistema in cui diversi omini, spostandosi avanti nel tempo, portassero dei secchi per andare a spegnere un fuoco (dato che il sentiero è stretto si studia protocollo per cui se hanno il secchio vuoto si muovono a sinistra fino alla fonte d’acqua e a quel punto ci si sposta a destra). Se due omini si incontrano lungo la strada si scambiano il secchio e invertono la direzione di marcia:
Un modello classico è quello di far scorrere il tempo come nell’immagine vedendo gli spostamento di ogni omino. Nell’immagine si identifica in rosso la storia di un omino e in blu la storia del secchio pieno. Ma a Petri non va bene questo modello avendo a che fare con il tempo, avendo un modello non discreto.
Cerca quindi un modello combinatorio in cui si hanno varie configurazioni che possono essere osservate (con quindi non necessariamente una sola scala del tempo). Si può osservare una configurazione del tipo:
con relazioni di dipendenza degli eventi (le righe blu) e situazioni di indipendenza (la riga verde). Gli omini potrebbero essere quindi modellati da una rete con gli incontri tra omini che diventano sincronizzazioni. L’evoluzione del sistema può essere registrato salvando informazioni vere. Nel sistema la prima transizione a sinistra è quindi il prelevamento dell’acqua e l’ultimo a destra il versamento sul fuoco:
Gli eventi in mezzo sono i cambiamenti di secchio.
L’ordine degli archi segue il secchio, verso sinistra con il secchio vuoto e verso destra con il secchio pieno. Le condizioni in alto praticamente sono il secchio vuoto mentre in basso pieno.
L’evoluzione del sistema posso memorizzarlo tramite condizioni vere. Possiamo quindi produrre la rete in base alle condizioni che possono scattare (in corrispondenza degli elementi della rete), ottenendo:
Tale modello è infinito.
Posso modellare i vari percorsi tramite linee colorate (percorso del secchio pieno in blu, percorso dell’omino in rosso, secchio vuoto in giallo, ecc…) con quelle tratteggiate in alto (verde) che rappresentano lo stato iniziale e quelle in basso (viola) quello finale, dove blocco il sistema (dopo il quale si ricomincia da capo):
Tra le varie linee colorate (non quelle tratteggiate) si hanno relazioni di dipendenza.
Definiamo il tutto in modo formale.
Definiamo $N= (B, E ,F)$ come una rete causale, detta anche rete di occorrenze senza conflitti, sse: