Verranno richiamate alcune nozioni base di algebra lineare che saranno poi utili nel corso. In particolare verranno date le nozioni di spazi vettoriali, matrici e norme.
In algebra lneare uno dei concetti fondamentali è quello di spazio vettoriale. Intuitivamente è una collezione di oggetti su cui sono definite operazioni che danno oggetti nello spazio stesso. Lo spazio dei numeri reali con l’operazione di somma e prodotto è forse il più semplice esempio di spazio vettoriale.
L’idea è quella di estendere questo concetto a oggetti più complessi dei meri numeri reali.
Definizione: Un insieme $V$ si dice spazio vettoriale se sono definite su $V$ due operazioni:
Tali operazioni devono soddisfare determinate proprietà affinché $V$ sia effettivamente uno spazio vettoriale. In particolare la somma deve avere le seguenti caratteristiche:
commutatività
$$ u+v = v+u, \ \ \forall u,v\in V $$
associatività
$$ (u+v) +w = u+(v+w), \ \ \ \forall u,v,w \in V $$
esistenza dell’elemento neutro $0$
$$ u+0 = u, \ \ \ \forall u\in V $$
per ogni elemento $u \in V$ tranne $0$ è possibile trovare il solo elemento $-u \in V$ tale che
$$ u+(-u)=0 $$
Mentre il prodotto per uno scalare deve soddisfare:
distributività rispetto alla somma
$$ \lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v, \ \ \ \forall u, v \in V, \ \forall \lambda \in \R $$
distributività rispetto al prodotto per uno scalare
$$ (\lambda+\mu)u=\lambda u+\mu u, \ \ \ \forall u \in V , \ \forall \lambda, \mu \in \R $$
associatività rispetto al prodotto per uno scalare
$$ (\lambda \mu)u=\lambda(\mu u) ,\ \ \ \forall u \in V, \ \forall \lambda, u \in \R $$
esistenza dell’elemento neutro
$$ 1u =u, \ \ \ \forall u = V $$
Questa definizione descrive in modo preciso quali devono essere le caratteristiche delle due operazioni di base affinchè si possa parlare di spazio vettoriale.