Abbiamo detto che la logica si occupa solo delle asserzioni (enunciati dichiarativi), e cioè di espressioni linguistiche che hanno la caratteristica di essere vere o false.
Quest’idea è precisata da tre principi che caratterizzano la logica classica che è l’oggetto principale di questo corso.
(P1) Principio di determinatezza
Ogni enunciato ha uno e un solo valore di verità (o, come anche si dice, si trova in uno e un solo stato di verità)
(P2) Principio di bivalenza
I valori (o stati) di verità sono soltanto due, e cioè appunto il vero e il falso.
Combinati insieme questi due principi ci dicono che ogni enunciato ha uno e uno solo dei due valori di verità vero e falso.
Inoltre abbiamo osservato che le asserzioni possono essere atomiche (semplici) oppure composte.
Il terzo principio afferma che:
(P3) Principio di vero-funzionalità
Il valore di verità di un’asserzione composta dipende interamente da quello delle asserzioni che la compongono.
Ad esempio, l’asserzione “Piove e fa freddo” è vera solo se entrambe le asserzioni “Piove” e “Fa freddo” sono vere, cioè il suo valore di verità dipende dai (è funzione dei) valori di verità delle asserzioni che la compongono.
Ora presenteremo la semantica della logica proposizionale classica, cioè la formalizzazione del meccanismo di attribuzione di un valore di verità alle formule, e lo faremo rispettando i principi che abbiamo introdotto.
In accordo con il Principio di bivalenza la logica proposizionale classica prevede due possibili valori di verità VERO o FALSO.
In accordo con il Principio di determinatezza, le variabili proposizionalil devono assumere un valore di verità: vero oppure falso.
Non è compito della logica proposizionale stabilire quale è il valore di verità di una variabilie proposizionale, che ricordiamo rappresenta un enunciato semplice. Il valore di verità è definito dal “mondo” che stiamo studiando e modellando.
Il compito della logica proposizionale è invece stabilire il valore di verità di una formula per ogni possibile assegnamento dei valori di verità alle variabili proposizionali, cioè stabilire in che modo la verità o falsità delle asserzioni elementari determina il valore di verità di un’asserzione composta.
Per attribuire un significato a una formula sono necessari due passi: