DEF: Sia $\{a_k\}$ una successione. La somma formale degli infiniti termini della successione si chiama serie numerica. Quindi la serie è: $a_0+a_1+a_2+...+a_n+...=\sum_{k=0}^{+\infin} a_k$.
$a_k =$ termine generale della serie
DEF: Sia $\{a_k\}$ una successione. Consideriamo la serie $\sum_{k=0}^{+\infin}a_k$.
Costruiamo una numa successione, detta successione delle somme parziali della seria come segue:
$s_0=a_0 \\ s_1=a_0+a_1 \\ s_2 = a_0+a_1+a_2 \\ s_n = a_0+a_1+a_2+...+a_n$
DEF: Sia $\sum_{k=0}^{+\infin}a_k$ una serie. La serie è convergente a $S\in\R$ se la successione delle somme parziali della serie $\{s_n\}$ converge a $S$, ciè se $\lim\limits_{n\rarr+\infin}s_n=S$. In questo caso $S$ è la somma della serie e scriviamo $\sum_{k=0}^{+\infin}a_k = S$
La serie diverge a $\pm\infin$ se la successione delle somme parziali diverge a $\pm \infin$
La serie è indeterminata se la sua successione delle somme parziali non ammette limite
Teorema [condizione necessaria per la convergenza di una serie]:
Sia $\sum_{k=0}^{+\infin}a_k$ una serie. Se la serie converge, allora $\lim\limits_{k\rarr +\infin}a_k = 0$
Oss: questa condizione è necessaria ma non sufficiente per la convergenza della serie. Quindi può accadere che $\lim\limits_{k\rarr +\infin}a_k=0$, ma la serie $\sum_{k=0}^{+\infin}a_k$ non sia convergente
Oss: se $\lim\limits_{k\rarr +\infin}a_k \neq 0,$ allora sicuramente la serie $\sum_{k=0}^{+\infin}a_k$ non converge
Teorema [serie armonica]
La serie $\sum_{n=1}^{+\infin}\frac{1}{n}$, detta serie armonica, diverge a $+\infin$
Serie armonica generalizzata:
$\sum_{n=1}^{+\infin}\frac{1}{n^\alpha},$ con $\alpha \in \R^+$
La serie converge $\lrarr \alpha > 1$
La serie diverge a $+\infin \lrarr \alpha \leq 1$