In questo capitolo introdurremo il concetto di Serie di Fourier. Questi oggetti matematici sono alla base dell’approssimazione di segnali e verranno poi sfruttati per la compressione JPEG.
Le serie di Fourier sono basate sulle cosiddette funzioni periodiche, ossia funzioni che si ripetono uguali a se stesse ciclicamente. In figura 6.1 diamo una rappresentazione grafica di funzione periodica che si ripete ciclicamente ogni $p$.
6.1
Ora che abbiamo chiaro l’idea che sta alla base di funzioni periodiche, diamo la loro definizione formale matematica.
Definizione 6.1: Una funzione $f:\R\rightarrow \R$ si dice periodica se esiste un numero reale $T$, detto periodo, tale per cui (6.1)
$$ f(t+nT)=f(t), \ \ \ \ \forall t \in \mathbb N $$
Esempi tipici di funzioni periodiche sono le funzioni trigonometriche:
$$ y = \sin(x), \ \ \ y = \cos (x), \ \ \ y=\tan(x) $$
Le prime due hanno periodo $2π$, mentre l’ultima ha periodo $π$. Vederemo che le serie di Fourier saranno basate sulle prime funzioni e quindi daremo ampio spazio alla loro rappresentazione grafica e proprietà nelle prossime sezioni.
Proposizione 6.1: Se una funzione periodica di periodo $p$ è nota in un generico intervallo di ampiezza $p$, allora è nota ovunque.
Il risultato precedente sarà estremamente utile. Infatti, ci permette di ricondurre lo studio / analisi di una funzione periodica di periodo $p$ solamente nell’intervallo $[0,p]$ Cerchiamo di toccare con mano questa considerazione dimostrando la seguente proposizione.
Proposizione 6.2: L’integrale su un intervallo di ampiezza $p$ di una funzione periodico $f$ di periodo $p$ non dipende dagli estremi di integrazione, i.e., (6.2):
$$ \int_a^{a+p}f(t)\ dt = \int_b^{b+p}f(t)\ dt $$
Le funzioni trigonometriche fondamentali, seno e coseno, sono periodiche di periodo 2π. Vogliamo modificarle in modo da rendere più “gestibile” la loro periodicità. In seguito consideriamo per semplicità solamente la funzione seno, per il coseno vale un discorso del tutto analogo.
Supponiamo di avere la funzione $\sin(t)$ e poniamoci l’obiettivo di renderla periodica di un periodo p generico. Per ottenere questo scopo basta semplicemente modificare l’argomento del seno:
$$ \sin(t)\ \ \text{ diventa } \ \ \sin\Big(\frac{2\pi}{p} t\Big) $$