Un teorema che collega i limiti delle funzioni con i limiti delle successioni è il teorema ponte:
Sia $f:X\subseteq \R \rarr \R$ e sia $x_0 \in \R^*$ un punto di accumulazione per X.
Allora $\lim\limits_{x\rarr x_0}f(x)=L \in \R^* \lrarr \forall \text{successione} \{x_n\} \in X \setminus\{x_0\}$ tale che $\lim\limits_{x \rarr +\infin} x_n=x_0$ si ha $\lim\limits_{x \rarr +\infin}f(x_n) = L$
Oss: si può utilizzare questo teorema per far vedere che un limite di funzione non esiste
Sia $f:X \in \R \rarr \R$ una funzione con X illimitato superiormente (inferiormente)
Se $\exist \lim\limits_{x\rarr +\infin}f(x)=L\in\R$
allora $y=L$ è un asintoto orizzontale per f(x)
Se $\exist y = mx+q$ con $m \neq 0 \ \ t.c.\ \ \lim\limits_{x\rarr+\infin}\big[f(x)-(mx+q)\big]=0$
→ $y=mx+q$ è un asintoto obliquo
Per trovare l'equazione di un eventuale asintoto obliquo:
se $\nexists$ asintoto orizzontale, si calcola
se $\lim\limits_{x\rarr+\infin}\frac{f(x)}{x}=m \in \R \setminus \{0\}$ si calcola $\lim\limits_{x\rarr +\infin}\big(f(x)-mx\big)=q\in\R$
→ $y = mx+q$ è un asintoto obliquo
Sia $x_0\in\R$ e supponiamo che la funzione f sia definita in un intorno destro e/o sinistro di $x_0$ ($x_0$ può appartenere al dominio di f).
Se $\lim\limits_{x\rarr x_0^+}f(x) = \pm\infin$ oppure $\lim\limits_{x\rarr x_0^-}f(x) = \pm\infin$ → la retta $x=x_0$ è un asintoto verticale di f(x)
Sia $f:X \in \R \rarr \R$ e sia $x_0 \in X$
Se $x_0$ è punto di accumulazione per X e se $\lim\limits_{x\rarr x_0}f(x)=f(x_0)$ allora $f(x)$ è continua in $x_0$
Se $x_0$ è punto isolato di X, $f$ è continua in $x_0$
Oss: $\lim\limits_{x\rarr+\infin}f(x)=f(x_0)$ questa uguaglianza afferma: