Una funzione il cui dominio è un sottoinsieme di $\N$ si dice successione

$f:A\subseteq\N\rarr \R$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \rarr f(n) = a_n, \ \ a_n= \text{ termine generale della successione}$

Di solito una successione si indica scrivendo valori assunti dalla funzione e cioè $\{ a_n\} _{n\in A}$

Una successione $\{a_n\}$ si dice crescente se $a_n \leq a_{n+1} \ \ \forall n \in \N$,

si dice decrescente se $a_{n+1} \leq a_n \ \ \ \forall n \in \N$

Una successione crescente o decrescente si dice monotona

Una successione si dice strettamente crescente se $a_n < a_{n+1} \ \ \ \forall n \in \N$

Una successione si dice strettamente decrescente se $a_{n+1} < a_n \ \ \ \forall n \in \N$

Una successione strettamente crescente o strettamente decrescente si dice strettamente monotona

Oss: una successione costante è sia crecente che decrescente MA non è nè strettamente crescente nè strettamente decrescente

Oss: se una successione è strettamente crescente → è anche crescente (il viceversa non è vero)

se una successione è strettamente decrescente → è anche decrescente

Oss: il dominio della successione è $A \subseteq \N$ → non è possibile fare $\lim\limits_{n \rarr n_0}a_n$, con $n_0 \in\N$ perchè $\forall n_0 \in \N$ è punto isolato di $\N$

L'unico punto di accumulazione per $\N$ è $+\infin$ → l'unico limite che ha senso fare per una successione è $\lim\limits_{n \rarr +\infin} a_n$

DEF: Sia $\{a_n\}$ una successione

• $\lim\limits_{n\rarr +\infin}a_n = L\in\R$
  • se $\forall \epsilon > 0 \ \ \ \exists \overline{n} \in \N$ tale che se $n > \overline{n}, \ \ L-\epsilon < a_n < L+\epsilon$ $\lrarr$ $|a_n - L| < \epsilon$
• $\lim\limits_{n\rarr +\infin}a_n = +\infin \ \ \text{se} \ \ \forall k \in\R \ \ \exists \overline{n}\in\N \ \ \text{ tale che }se \ \ n > \overline{n}, \ \ a_n > k$
• $\lim\limits_{n\rarr +\infin} a_n = -\infin \ \ \ \ se \ \ \ \forall k \in \R \ \ \exists \overline n \in \N \ \ \text{ tale che } \ \ se \ \ n>\overline n, \ \ a_n < k$