Esperimento

Misurare l'altezza di una persona scelta a caso in un dato insieme di individui.

In questo caso $X$ misura l'altezza che è una grandezza fisica, e può quindi assumere valori in un intervallo di numeri reali ES: $X(\Omega)= [150, 200]$, ci sono quindi pressochè infiniti valori che possono essere misurati (tuttavia gli strumenti hanno una precisione finita, quindi i modelli delle v.a. continue risultano solo teoriche, non realizzabili, ma ci servono perchè sono approssimazioni di modelli reali)

Di conseguenza, per esempio, $P(X=165)=0$, perchè $\frac{1}{\infin}=0$.

Quando consideriamo la X compresa in un intervallo $P(160 \leq X\leq 170)\geq 0$

Dobbiamo quindi fare l'integrale definito tra a e b.

Densità di probabilità

Definizione: una variabile aleatoria continua è descritta da una funzione $f(x)$ detta densità di probabilità tale che

1. $f(x)\geq 0 \ \ \forall x \in \R$
2. $\int_{-\infin}^{+\infin}f(x) \ dx =1$ (perchè si deve conservare la proprietà che $P(\Omega)=1$)

Definizione: Si dice definisce la probabilità che $X$ sia compreso tra a e b come

$$ P(a\leq X\leq b)=\int_a^bf(x)dx $$

Osservazioni

1. Sia $[a,b]\subseteq\R$

   Se $a=b$ allora $P(a \leq X\leq b)=P(X=a)=\int_a^af(x)dx=0$

2. $P(a \leq X\leq b)=P(a<X\leq b)=P(a \leq X < b)$

   In generale, aggiungendo o togliendoun numero finito di punti a un intervallo la probabilità non cambia

3. $f(x)\neq P(X=x)$

• Esempio