Definizione: una variabile aleatoria (o casuale) è una funzione $X:\Omega \rarr \R$ che associa un numero reale a ogni possibile risultato dell'esperimento

Distribuzione di probabilità

Definizione: sia $X:\Omega \rarr \R$ una variabile aleatoria. Si chiama distribuzione di probabilità di $X$ la funzione $p:\R\rarr [0,+\infin[$ tale che $p(a)=P(X=a)$ per ogni $a \in \R$

Teorema

Sia $X(\Omega)=\{x_1,...,x_n\}$

  1. $\sum_{i=1}^n P(X=x_i)=1$
  2. Per ogni $a \not \in X(\Omega), \ P(X=a)=0$

Funzione di distribuzione

Definizione Si definisce funzione di distribuzione di una variabile aleatoria $X$, una funzione

$F:\R\rarr[0,+\infin[$ e $F(a)=P(X \leq a)$ per ogni $a \in \R$

Nota bene: molte volte negli esercizi dovremo calcolare $P(X\leq a)$ utilizzando la proprietà della probabilità dell'evento complementare.

Teorema

Se $X(\Omega)=\{x_1,...,x_n\}$ allora

$$ P(X \leq a)=\sum_{x_i \leq a}^{} P(X = x_i) $$

Esperimento di Bernoulli

Definizione: un esperimento di Bernoulli è un esperimento che può avere due possibili esiti. Quello che interessa lo chiamiamo successo.

Definizione: Si chiama processo di Bernoulli (schema successo/insuccesso) l'esperimento che consiste in $n$ prove identiche e indipendenti di Bernoulli.